دلیل اصلی این امر این است که برای مطالعه ریاضیات، فقط از روی کتاب یا جزوه می‌خوانید و همزمان با خواندن چیزی نمی‌نویسید. ممکن است شما تصور کنید که مطلب را فهمیده‌اید و از آن بگذرید اما وقتی بنویسید و نوشته خود را با مطلب اصلی مقایسه کنید متوجه تفاوت بین آنچه شما نوشته‌اید و آنچه در کتاب وجود دارد خواهید شد.
سعی کنید پس از خواندن هر قسمت کوتاه، کتاب یا جزوه را ببندید و همان مطالب را برای خودتان روی کاغذ بنویسید. سپس چیزی را که نوشته‌اید بخوانید. ببینید آیا خودتان از خواندن نوشته خود چیزی متوجه می‌شوید. بعد به دید تصحیح نوشته‌های خود، آن را با متن اصلی مقایسه کنید و اشتباهات خود را پیدا کنید. شاید لازم باشد چند بار این کار را تکرار کنید تا به نوشته‌ای بدون نقص برسید. مطمئن باشید هر نویسنده زبردستی هم پس از نوشتن متن، آن را ویرایش می‌کند. هیچ نوشته‌ای بی‌نقص نیست ولی تا وقتی ننویسید ایرادات را نمی‌فهمید. این کار را به روز امتحان موکول نکنید. شاید در امتحان برای تصحیح اشتباهات موقعیت مناسب را پیدا نکنید.
این اتفاق بسیار طبیعی است چون برای اثبات قضایای ریاضی از فرض به حکم می‌رسند و در نتیجه با خواندن ابتدای موضوع، اغلب غیرممکن است بتوانید حدس بزنید که چه هدفی مد نظر است و چه اتفاقی قرار است رخ دهد.
این درست مثل پیدا کردن سرنخ برای حل یک معمای جنایی است. اگر در مسیر درست حرکت کنید چیزی قابل درک نیست ولی وقتی معما حل شد اهمیت سرنخ‌ها مشخص خواهد شد.
گاهی اوقات شاید لازم باشد وقتی مطلبی را متوجه نمی شوید از آن بگذرید. مطمئن باشید اندکی بعد از آن، توضیحاتی آمده است که باعث می‌شود پیچیدگی مطلب قبلی برای شما برطرف شود. از لحاظ منطقی، نویسنده وظیفه دارد که کتاب را در جهت فرض به حکم بنویسد ولی شما برای بهتر فهمیدن می‌توانید در جهت حکم به فرض حرکت کنید. حتی شاید لازم باشد برای مطالعه فصلی از کتاب، ابتدا انتهای فصل را بخوانید و بعد به اول فصل بروید.
شما باید با خواندن صورت مسائل، یادگیری را آغاز کنید. وقتی بدون اطلاع از مسأله‌ها، درس را می‌خوانید اهمیت آن را متوجه نمی‌شوید. یک راه خوب برای ریاضی خواندن این است که ابتدا صورت مسائل را بخوانید. در این مرحله ممکن است حتی مفهوم بعضی از سؤال‌ها را نفهمید. حتی ممکن است نتوانید هیچ کدام از سؤال‌ها را پاسخ دهید. این جای نگرانی ندارد. در مرحله بعد، تعاریف درس را بخوانید و دوباره به سراغ سؤالات بروید. اکنون باید متوجه شوید که سؤال‌ها چه چیزی را از شما می‌خواهند. ممکن است حالا بتوانید بعضی از آنها را پاسخ دهید. در مرحله بعدی صورت قضایا را بخوانید و سعی کنید مسائل را حل کنید. اکنون برخی از سؤالات برای شما قابل حل هستند ولی هنوز هم مسأله‌هایی باقی مانده که قابل حل نیستند. دلیل آن این است که برخی سؤالات با صورت قضیه‌ها حل می‌شوند و برخی دیگر با تکنیک به کار رفته در برهان‌ها حل می‌شوند. حالا وقتی برهان قضایا را می‌خوانید هدف مهمی دارید: برهان‌ها و تکنیک‌های به کار رفته در آنها را به منظور به کار بردن برای حل مسأله بخوانید.
این درس را برای شما کاربردپذیر می‌سازد. گاهی اوقات کاربرد مسائل محض و مجرد ریاضی، در حل مسائل محض و مجرد است. انتظار نداشته باشید که همیشه کاربردها به زندگی روزمره وابسته باشد.
شما در پاسخ یک سؤال، چیزهایی را روی کاغذ می‌نویسید. این نوشته‌ها باید با اصول منطق و قواعد نتیجه‌گیری سازگار باشد. هر نوشته‌ای نمی‌تواند یک راه حل تلقی شود.
وقتی یک کتاب ریاضی را مطالعه می‌کنید باید دو مطلب را از آن بیاموزید: اول استدلال ریاضی برای رسیدن از فرض به حکم که موضوعی در یادگیری منطق مسأله است و دوم این که یاد می‌گیرید چگونه بنویسید تا نوشته شما برای خواننده قابل فهم باشد.
حتما شما هم کتاب‌هایی را مطالعه کرده‌اید که بدفهم هستند. از این گونه کتاب‌ها می‌توان چیزی آموخت: هرگز این گونه ننویسید.
همان طور که شما ممکن است متنی را بخوانید و متوجه نشوید، معلم شما هم ممکن است راه حل شما را بخواند و متوجه نشود. خوب نوشتن بخش مهمی از انتقال دانش است. اگر روشی مناسب برای ارائه یافته علمی خود نداشته باشید، هیچ‌گاه نمی‌توانید مرزهای دانش را گسترش دهید. شما باید بفهمید که چگونه ممکن است نوشته‌ای را نفهمید؛ و باید از چنین سبکی در نوشتن اجتناب کنید.
ریاضیات لبریز از مسائل دریچه‌ای است. یک مسأله دریچه‌ای مسأله‌ای است که در یک جهت به سادگی حل می‌شود و در جهت دیگر این گونه نیست. همیشه عبور از دریچه‌ها چنین است. اگر قایقی کاغذی را در مسیر حرکت آب قرار دهید به سادگی پیش می‌رود اما اگر انتظار داشته باشید که خلاف جهت آب حرکت کند، بدون نیروی پیش‌برنده بیهوده است.
درسی که در کلاس گفته می‌شود در جهت حرکت کلاس است و سؤالی که در امتحان می‌آید معمولا در خلاف جهت است. دو عدد اول سه رقمی را در نظر بگیرید. اگر بخواهید این دو عدد را در یکدیگر ضرب کنید با دانشی در حد سوم یا چهارم دبستان می‌توانید به هدف خود برسید اما اگر بخواهید حاصل را تجزیه کنید مسأله به این سادگی نیست. بخش اتحادها و ضرب چندجمله‌ای‌ها در جبر به همین شکل است. به سادگی می‌توان دو چندجمله‌ای را در هم ضرب کرد و به سختی می‌توان تجزیه کرد. این زیبایی ریاضیات است که حاوی مسائل دریچه‌ای است. فرق انسان با کامپیوتر در همین است که می‌تواند خلاقیت به خرج دهد و در خلاف جهت مسأله حرکت کند.
این اصطلاحی است که تنبل‌ها برای فرار از انجام کار سخت خلق کرده‌اند. اگر دلیل درستی فرمول‌ها را بدانید آنها هیچ وقت از ذهن شما فرار نخواهند کرد. برای یک لحظه چیزی را که دوست دارید تصور کنید. ممکن است شما نام هنرپیشه‌ها، اسامی بازیکنان تیم محبوب خود یا جزئیات یک بازی کامپیوتری خیلی پیچیده را به راحتی حفظ کنید و سال‌ها در ذهن خود نگه دارید. چرا آنها فرّار نیستند؟ دلیل ساده‌ای دارد: تکرار و تکرار و تکرار. چیزی که باعث می‌شود موضوعی در ذهن حک شود تکرار است. پیچیده‌ترین کارها اگر با تکرار همراه باشند آسان خواهند شد. اثبات ساده‌ای برای این ادعا وجود دارد: همین که انسانی وجود دارد که توانسته کاری را انجام دهد، شما هم می‌توانید آن کار را انجام دهید. فقط باید بخواهید و تکرار کنید.
این احساس ممکن است در مواقعی خیلی به ضرر شما تمام شود. شما در اتاق شخصی خود درس می‌خوانید و محیط را برای خود آرام می‌کنید و حتی از دیگر افراد خانواده می‌خواهید که در هنگام مطالعه شما سکوت اختیار کنند و هیچ صدایی به گوش نرسد. تا اینجای کار مشکلی وجود ندارد. اما تصور کنید در امتحانی مانند کنکور شرکت کرده‌اید که قرار است در یک روز، سرنوشت شما رقم بخورد. درست در همان روز مراقبی که با دوستش پچ پچ می‌کند، صدای خالی کردن بار تیرآهن از کامیونی که بیرون حوزه امتحانی در حال تخلیه بار است، صدای صندلی شخصی که کنار شما نشسته است و افتادن وسائل یکی از شرکت‌کنندگان در امتحان که همگی اتفاقی و غیر قابل اجتناب هستند، باعث می‌شود تمرکز شما به هم بخورد و سرنوشت شما تغییر کند.
بد نیست بعضی وقت‌ها خود را در موقعیت شلوغ بیازمایید. در مسابقاتی که در هیجان و سر و صدا انجام می‌شوند شرکت کنید و سعی کنید در محیطی ناآرام به مسأله‌ای ریاضی فکر کنید. لازم نیست همیشه این گونه درس بخوانید ولی بد نیست بعضی وقت‌ها این روش را تجربه کنید.
از کجا آمده است، بخش منطقی آموزش ریاضی نیست. آنچه به طور منطقی در کتاب‌ها انجام می‌شود این است که آیا گزاره‌های موجود در راه حل می‌توانند به ترتیب از گزاره‌های قبلی نتیجه شوند. معمولا مؤلفین کتاب‌ها به طور منطقی نیازی نمی‌بینند که در مورد از کجا آمده است صحبت کنند.
از طرف دیگر این که تکنیکی از کجا آمده است در امر یادگیری بسیار مهم است. مسأله‌های سخت، آنهایی هستند که با تکنیکی از بیرون مسأله حل می‌شوند. در یک مسأله هندسه گاهی اوقات رسم کردن یک خط اضافی مناسب در شکل داده شده، می‌تواند معجزه کند. اما سؤال این است که از کجا بفهمیم کدام خط برای رسم کردن مناسب است.
پاسخ ساده‌ای برای این سؤال وجود دارد: تجربه و تکرار. انتظار نداشته باشید که به طور منطقی، راهی برای آموزش خلاقیت وجود داشته باشد. ابتکار، ممارست و تبحر در اثر تمرین، تجربه و تکرار حاصل می‌شود. این ظریف‌ترین بخش غیرمنطقی ریاضیات است که آن را جذاب می‌کند.
اگر به ریاضیات علاقه‌ای نداشته باشید این غیرقابل اجتناب است ولی به هر حال راه حلی دارد.
وقتی مطالعه می‌کنید و خسته می‌شوید از مطالعه دست نکشید. این خیلی خطرناک است. مغز شما متوجه می‌شود که می‌تواند با احساس خستگی شما را از راه به در کند. هر وقت خسته شدید سعی کنید تا رسیدن به رأس ساعت یا نیم ساعت بعدی درس بخوانید؛ حتی اگر چیزی از درس متوجه نشوید. به این ترتیب مغز شما متوجه می‌شود که برای شما خستگی اهمیتی ندارد. مطمئنا شما چند دقیقه آخر درس را متوجه نشده‌اید و لازم است که پس از استراحت، دوباره آن قسمت را بخوانید. این چندان مهم نیست. مهم این است که شما بتدریج خواهید توانست مدت زمان مطالعه خود را بالا ببرید.
مهم‌ترین مسأله در ریاضیات، درک تعاریف و ریشه مفهومی آنها است. اگر مفهوم را دریافته‌اید نگران غریبه بودن واژه‌ها نباشید. اصلا فکر کنید این واژه‌ها به زبانی دیگر هستند. برای درک مفهوم استقرا، عادپذیری، افزار و انتگرال، لازم نیست ریشه لغوی این کلمات را بدانید. کافی است مفهوم را درک کنید. حتی در برخی موارد شاید نتوانید نمونه‌ای واقعی از مفهوم مورد نظر را در دنیای معمولی بیابید. ایرادی ندارد. تنها باید به آن عادت کنید. در بحث فضای ده بعدی، لازم نیست به دنبال یک فضای ده بعدی باشید. سعی کنید مفهوم را درک کنید و به آن عادت کنید تا بتوانید مسائل مربوط به آن را حل کنید.
شما باید به آنچه می‌دانید اشراف داشته باشید. همیشه نکته‌های درس را به صورت خلاصه بنویسید تا در جلوی چشم داشته باشید. مثلا برای اثبات این که عددی نمی‌تواند مربع کامل باشد چه راه‌هایی وجود دارد؟ فهرستی از روش‌ها تهیه کنید. وقتی بنویسید برای شما طبقه‌بندی خواهد شد و متوجه می‌شوید که با تعدادی متناهی از تکنیک‌ها مواجه هستید. مثلا برای اثبات این که عددی مربع کامل نیست چند راه ساده وجود دارد: نشان دهید عدد شما بین دو مربع کامل متوالی وجود دارد، آن را تجزیه کنید و مشاهده کنید که توان‌های ظاهر شده همگی زوج نیستند، عددی اول را پیدا کنید که در تجزیه عدد شما به تعدادی فرد ظاهر شده باشد، نشان دهید که رقم یکان عدد شما مثلا برابر سه است.
وقتی چنین فهرستی از روش‌ها داشته باشید، در مواجه شدن با مسأله‌ای جدید به فهرست خود مراجعه خواهید کرد و تکنیک‌ها را به ترتیب به کار خواهید برد تا در نهایت یا به راه حل برسید و یا با خیال راحت بگویید که با دانش شما قابل حل نیست و به مطالعه بیشتر برای یاد گرفتن تکنیک‌های بیشتر بپردازید.
